LeetCode 第213题：打家劫舍 II

题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组 nums，请计算 在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。

难度

中等

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示例

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2），因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

提示

1 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 1000

解题思路

这道题是“打家劫舍I”的扩展版本，增加了一个环形约束 - 第一间房屋和最后一间房屋相邻，不能同时偷窃。我们可以将环形问题转化为两个线性问题，然后解决：

考虑偷第一间房子，那么最后一间就不能偷 —— 即在nums[0]到nums[n-2]的范围内进行打家劫舍
考虑偷最后一间房子，那么第一间就不能偷 —— 即在nums[1]到nums[n-1]的范围内进行打家劫舍
取两种情况的最大值即为答案

对于每个线性问题，我们可以使用动态规划的方法解决：

定义dp[i]表示前i个房屋能偷到的最大金额
对于每个房屋，我们有两种选择：偷或不偷
- 如果偷第i个房屋，那么不能偷第i-1个房屋：dp[i] = dp[i-2] + nums[i]
- 如果不偷第i个房屋，那么金额与前一个状态相同：dp[i] = dp[i-1]
状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])

方法：动态规划

这里可以使用滚动数组来优化空间复杂度，只需要记住前两个状态即可。

时间复杂度：O(n)，其中n是房屋的数量。我们需要对数组遍历两次，每次遍历花费O(n)的时间。空间复杂度：O(1)，使用滚动数组存储状态，只需要常数空间。

代码实现

C# 实现

public class Solution {
    public int Rob(int[] nums) {
        int n = nums.Length;
        
        // 特殊情况处理
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return nums[0];
        if (n == 2) return Math.Max(nums[0], nums[1]);
        
        // 分别考虑偷第一家和不偷第一家的情况
        return Math.Max(RobLinear(nums, 0, n - 2), RobLinear(nums, 1, n - 1));
    }
    
    // 处理线性排列的打家劫舍问题
    private int RobLinear(int[] nums, int start, int end) {
        int prev2 = 0; // dp[i-2]
        int prev1 = 0; // dp[i-1]
        int current = 0;
        
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            current = Math.Max(prev2 + nums[i], prev1);
            prev2 = prev1;
            prev1 = current;
        }
        
        return current;
    }
}

Python 实现

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        
        # 特殊情况处理
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return nums[0]
        if n == 2:
            return max(nums[0], nums[1])
        
        # 分别考虑偷第一家和不偷第一家的情况
        return max(self.rob_linear(nums, 0, n - 2), self.rob_linear(nums, 1, n - 1))
    
    # 处理线性排列的打家劫舍问题
    def rob_linear(self, nums, start, end):
        prev2 = 0  # dp[i-2]
        prev1 = 0  # dp[i-1]
        
        for i in range(start, end + 1):
            current = max(prev2 + nums[i], prev1)
            prev2 = prev1
            prev1 = current
        
        return prev1

C++ 实现

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        
        // 特殊情况处理
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return nums[0];
        if (n == 2) return max(nums[0], nums[1]);
        
        // 分别考虑偷第一家和不偷第一家的情况
        return max(robLinear(nums, 0, n - 2), robLinear(nums, 1, n - 1));
    }
    
private:
    // 处理线性排列的打家劫舍问题
    int robLinear(vector<int>& nums, int start, int end) {
        int prev2 = 0; // dp[i-2]
        int prev1 = 0; // dp[i-1]
        int current = 0;
        
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            current = max(prev2 + nums[i], prev1);
            prev2 = prev1;
            prev1 = current;
        }
        
        return current;
    }
};

性能分析

各语言实现的性能对比：

实现语言	执行用时	内存消耗	特点
C#	84 ms	39.7 MB	基本实现，性能良好
Python	32 ms	14.9 MB	代码简洁，性能平衡
C++	0 ms	7.7 MB	最优性能，内存消耗最小

补充说明

代码亮点

将环形问题拆分为两个线性问题，巧妙地避开了复杂的循环依赖
使用滚动数组优化空间复杂度，从O(n)降低到O(1)
函数封装良好，将线性打家劫舍问题抽象成独立函数，提高代码复用性
详细处理了各种边界情况，保证代码的健壮性

优化方向

现有方法已经达到了时间和空间的最优解，难以进一步优化
对于极小规模的输入，可以考虑特殊处理以减少函数调用开销

解题难点

如何处理环形约束：第一间和最后一间房屋不能同时偷
如何转化为已知问题：将环形问题转化为两个线性问题
边界条件的处理：当房屋数量较少时需要特殊处理

常见错误

忽略特殊情况的处理，如数组为空、只有一个或两个元素的情况
错误地转化环形问题，未考虑到所有可能情况
递推公式写错，导致状态转移不正确