LeetCode 第295题：数据流的中位数

📖 文章摘要

本文详细解析LeetCode第295题“数据流的中位数”，这是一道考察堆（优先队列）和数据流处理的困难难度题目。文章提供了双堆和有序数组两种实现方案，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合学习堆和数据流处理的读者。

核心知识点： 堆、优先队列、数据流处理
难度等级： 困难
推荐人群： 具备基础算法知识，想要提升数据结构应用能力的开发者

题目描述

中位数是有序列表中间的数。如果列表长度是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例

示例 1：

输入：
["MedianFinder", "addNum", "addNum", "findMedian", "addNum", "findMedian"]
[[], [1], [2], [], [3], []]
输出：
[null, null, null, 1.5, null, 2.0]

解释：
MedianFinder medianFinder = new MedianFinder();
medianFinder.addNum(1);    // arr = [1]
medianFinder.addNum(2);    // arr = [1, 2]
medianFinder.findMedian(); // 返回 1.5 ((1 + 2) / 2)
medianFinder.addNum(3);    // arr[1, 2, 3]
medianFinder.findMedian(); // 返回 2.0

提示

-105 <= num <= 105
在调用 findMedian 之前，数据结构中至少有一个元素
最多调用 addNum 和 findMedian 方法 5 * 104 次

解题思路

本题可以使用两种方法来实现：

双堆法：
- 使用一个大顶堆存储较小的一半数字
- 使用一个小顶堆存储较大的一半数字
- 保持两个堆的大小平衡（相等或相差1）
- 中位数可以通过堆顶元素快速计算
有序数组法：
- 使用有序数组存储所有数字
- 使用二分查找确定插入位置
- 中位数可以通过下标直接获取
- 适用于数据量较小的情况

图解思路

双堆结构分析表

操作	大顶堆	小顶堆	中位数
初始状态	[]	[]	-
addNum(1)	[1]	[]	1.0
addNum(2)	[1]	[2]	1.5
addNum(3)	[1,2]	[3]	2.0
addNum(4)	[1,2]	[3,4]	2.5

平衡维护步骤表

步骤	操作	目的
1	比较与堆顶元素	决定加入哪个堆
2	插入对应的堆	保持有序性
3	检查大小差异	确保平衡
4	必要时移动元素	调整平衡

代码实现

C# 实现

public class MedianFinder {
    private PriorityQueue<int, int> maxHeap; // 大顶堆，存储较小的一半
    private PriorityQueue<int, int> minHeap; // 小顶堆，存储较大的一半
    
    public MedianFinder() {
        maxHeap = new PriorityQueue<int, int>();
        minHeap = new PriorityQueue<int, int>();
    }
    
    public void AddNum(int num) {
        if (maxHeap.Count == 0 || num < maxHeap.Peek()) {
            maxHeap.Enqueue(num, -num);
        } else {
            minHeap.Enqueue(num, num);
        }
        
        // 平衡两个堆
        if (maxHeap.Count > minHeap.Count + 1) {
            var val = maxHeap.Dequeue();
            minHeap.Enqueue(val, val);
        } else if (minHeap.Count > maxHeap.Count) {
            var val = minHeap.Dequeue();
            maxHeap.Enqueue(val, -val);
        }
    }
    
    public double FindMedian() {
        if (maxHeap.Count > minHeap.Count) {
            return maxHeap.Peek();
        }
        return (maxHeap.Peek() + minHeap.Peek()) / 2.0;
    }
}

Python 实现

from heapq import *

class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.max_heap = []  # 存储较小的一半（取负数实现大顶堆）
        self.min_heap = []  # 存储较大的一半

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.max_heap) == 0 or num < -self.max_heap[0]:
            heappush(self.max_heap, -num)
        else:
            heappush(self.min_heap, num)
            
        # 平衡两个堆
        if len(self.max_heap) > len(self.min_heap) + 1:
            heappush(self.min_heap, -heappop(self.max_heap))
        elif len(self.min_heap) > len(self.max_heap):
            heappush(self.max_heap, -heappop(self.min_heap))

    def findMedian(self) -> float:
        if len(self.max_heap) > len(self.min_heap):
            return -self.max_heap[0]
        return (-self.max_heap[0] + self.min_heap[0]) / 2

C++ 实现

class MedianFinder {
private:
    priority_queue<int> maxHeap; // 大顶堆，存储较小的一半
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap; // 小顶堆，存储较大的一半
    
public:
    MedianFinder() {}
    
    void addNum(int num) {
        if (maxHeap.empty() || num < maxHeap.top()) {
            maxHeap.push(num);
        } else {
            minHeap.push(num);
        }
        
        // 平衡两个堆
        if (maxHeap.size() > minHeap.size() + 1) {
            minHeap.push(maxHeap.top());
            maxHeap.pop();
        } else if (minHeap.size() > maxHeap.size()) {
            maxHeap.push(minHeap.top());
            minHeap.pop();
        }
    }
    
    double findMedian() {
        if (maxHeap.size() > minHeap.size()) {
            return maxHeap.top();
        }
        return (maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2.0;
    }
};

执行结果

C# 实现

执行用时：408 ms
内存消耗：98.2 MB

Python 实现

执行用时：368 ms
内存消耗：35.8 MB

C++ 实现

执行用时：296 ms
内存消耗：116.8 MB

性能对比

语言	执行用时	内存消耗	特点
C#	408 ms	98.2 MB	代码结构清晰，性能适中
Python	368 ms	35.8 MB	实现简洁，内存占用小
C++	296 ms	116.8 MB	性能最优，内存占用较大

代码亮点

🎯 使用双堆结构实现高效查找
💡 巧妙的平衡维护策略
🔍 边界条件处理完善
🎨 代码结构清晰易懂

常见错误分析

🚫 未正确维护堆的平衡
🚫 插入顺序错误
🚫 中位数计算错误
🚫 整数除法未转换为浮点数

解法对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
双堆法	O(log n)	O(n)	插入和查找都很快	需要额外空间
有序数组法	O(n)	O(n)	实现简单	插入较慢

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提示

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双堆结构分析表

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