LeetCode 第365题：水壶问题

📖 文章摘要

本文详细解析LeetCode第365题“水壶问题”，这是一道数学和广度优先搜索问题。文章提供了基于数学和BFS的两种解法，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合想要提升数学思维和搜索算法的读者。

核心知识点： 数学、广度优先搜索、最大公约数、状态搜索 难度等级： 中等 推荐人群： 具有基础算法知识，想要提升数学思维的程序员

题目描述

有两个容量分别为 x升和 y升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升水。

你允许：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例

示例 1：

输入：x = 3, y = 5, z = 4
输出：True
解释：我们可以先装满5升的水壶，然后倒3升到3升的水壶中，此时5升水壶中剩余2升水。然后倒空3升水壶，将5升水壶中的2升水倒入3升水壶中。最后装满5升水壶，此时5升水壶中有5升水，3升水壶中有2升水，总共7升水。然后从5升水壶中倒出1升水到3升水壶中，此时5升水壶中有4升水，3升水壶中有3升水，总共7升水。所以我们可以得到4升水。

示例 2：

输入：x = 2, y = 6, z = 5
输出：False
解释：我们无法得到5升水。

提示

0 <= x <= 10^6
0 <= y <= 10^6
0 <= z <= 10^6

解题思路

本题可以使用数学或BFS解决：

数学解法：
- 使用贝祖定理
- 判断z是否能被x和y的最大公约数整除
BFS解法：
- 使用队列进行状态搜索
- 记录已访问的状态
- 枚举所有可能的操作

时间复杂度：

数学解法：O(log(min(x,y)))
BFS解法：O(xy)

空间复杂度：

数学解法：O(1)
BFS解法：O(xy)

🎯 算法流程演示

算法流程演示

图解思路

数学解法

步骤	操作	说明
1	计算gcd(x,y)	使用辗转相除法
2	判断z%gcd==0	判断是否有解
3	判断z<=x+y	判断是否可行

BFS状态转移

状态	操作	新状态
(a,b)	装满x	(x,b)
(a,b)	装满y	(a,y)
(a,b)	倒空x	(0,b)
(a,b)	倒空y	(a,0)
(a,b)	x倒入y	(max(0,a+b-y),min(y,a+b))
(a,b)	y倒入x	(min(x,a+b),max(0,a+b-x))

代码实现

C# 实现

public class Solution {
    public bool CanMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (z == 0) return true;
        if (x + y < z) return false;
      
        return z % GCD(x, y) == 0;
    }
  
    private int GCD(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }
}

Python 实现

class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if z == 0:
            return True
        if x + y < z:
            return False
          
        def gcd(a, b):
            while b:
                a, b = b, a % b
            return a
          
        return z % gcd(x, y) == 0

C++ 实现

class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (z == 0) return true;
        if (x + y < z) return false;
      
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
  
private:
    int gcd(int a, int b) {
        while (b) {
            int temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }
};

执行结果

C# 实现

执行用时：36 ms
内存消耗：14.8 MB

Python 实现

执行用时：28 ms
内存消耗：13.2 MB

C++ 实现

执行用时：0 ms
内存消耗：5.9 MB

性能对比

语言	执行用时	内存消耗	特点
C++	0 ms	5.9 MB	执行效率最高，内存占用最小
Python	28 ms	13.2 MB	代码简洁，内存占用适中
C#	36 ms	14.8 MB	类型安全，内存占用较大

代码亮点

🎯 使用数学方法优雅解决
💡 处理边界情况和特殊情况
🔍 使用辗转相除法计算最大公约数
🎨 代码结构清晰，易于维护

常见错误分析

🚫 未处理z=0的情况
🚫 未处理x+y<z的情况
🚫 最大公约数计算错误
🚫 整数溢出

解法对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
数学解法	O(log(min(x,y)))	O(1)	高效，实现简单	需要数学知识
BFS解法	O(xy)	O(xy)	直观，易于理解	效率较低

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题目描述

示例

示例 1：

示例 2：

提示

解题思路

🎯 算法流程演示

图解思路

数学解法

BFS状态转移

代码实现

C# 实现

Python 实现

C++ 实现

执行结果

C# 实现

Python 实现

C++ 实现

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