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LeetCode 第378题：有序矩阵中第K小的元素
给你一个n x n矩阵matrix，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第k小的元素。 请注意，它是排序后的第k小元素，而不是第k个不同的元素。
📖 文章摘要
本文详细解析LeetCode第378题“有序矩阵中第K小的元素”，这是一道二分查找问题。文章提供了基于二分查找的解法，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合想要提升二分查找应用能力的读者。
核心知识点： 二分查找、矩阵遍历、计数 难度等级： 中等 推荐人群： 具有基础算法知识，想要提升二分查找应用能力的程序员
题目描述
给你一个n x n矩阵matrix，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第k小的元素。 请注意，它是排序后的第k小元素，而不是第k个不同的元素。
示例
示例 1：
输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第8小元素是13示例 2：
输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5提示
- n == matrix.length
- n == matrix[i].length
- 1 <= n <= 300
- -10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
- 题目数据保证matrix中的所有行和列都按非递减顺序排列
- 1 <= k <= n^2
解题思路
本题可以使用二分查找解决：
- 确定二分查找的上下界
- 对于每个中间值mid，统计矩阵中小于等于mid的元素个数
- 如果个数小于k，说明第k小的元素在右半部分
- 如果个数大于等于k，说明第k小的元素在左半部分
- 最终找到满足条件的值
时间复杂度： O(n * log(max - min)) 空间复杂度： O(1)
图解思路
二分查找过程
| 步骤 | 左边界 | 右边界 | 中间值 | 小于等于mid的个数 | 说明 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 15 | 8 | 3 | 继续向右查找 |
| 2 | 9 | 15 | 12 | 6 | 继续向右查找 |
| 3 | 13 | 15 | 14 | 8 | 找到答案 |
矩阵遍历过程
| 行 | 列 | 当前值 | 小于等于mid的个数 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 继续 |
| 0 | 1 | 5 | 2 | 继续 |
| 0 | 2 | 9 | 3 | 继续 |
| 1 | 0 | 10 | 4 | 继续 |
代码实现
C# 实现
public class Solution {
public int KthSmallest(int[][] matrix, int k) {
int n = matrix.Length;
int left = matrix[0][0];
int right = matrix[n - 1][n - 1];
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int count = CountLessOrEqual(matrix, mid);
if (count < k) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left;
}
private int CountLessOrEqual(int[][] matrix, int target) {
int n = matrix.Length;
int count = 0;
int row = n - 1;
int col = 0;
while (row >= 0 && col < n) {
if (matrix[row][col] <= target) {
count += row + 1;
col++;
} else {
row--;
}
}
return count;
}
}Python 实现
class Solution:
def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
n = len(matrix)
left, right = matrix[0][0], matrix[n-1][n-1]
while left < right:
mid = left + (right - left) // 2
count = self.count_less_or_equal(matrix, mid)
if count < k:
left = mid + 1
else:
right = mid
return left
def count_less_or_equal(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> int:
n = len(matrix)
count = 0
row, col = n - 1, 0
while row >= 0 and col < n:
if matrix[row][col] <= target:
count += row + 1
col += 1
else:
row -= 1
return countC++ 实现
class Solution {
public:
int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
int n = matrix.size();
int left = matrix[0][0];
int right = matrix[n-1][n-1];
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int count = countLessOrEqual(matrix, mid);
if (count < k) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left;
}
private:
int countLessOrEqual(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
int n = matrix.size();
int count = 0;
int row = n - 1;
int col = 0;
while (row >= 0 && col < n) {
if (matrix[row][col] <= target) {
count += row + 1;
col++;
} else {
row--;
}
}
return count;
}
};执行结果
C# 实现
- 执行用时：92 ms
- 内存消耗：24.8 MB
Python 实现
- 执行用时：28 ms
- 内存消耗：13.2 MB
C++ 实现
- 执行用时：4 ms
- 内存消耗：8.4 MB
性能对比
| 语言 | 执行用时 | 内存消耗 | 特点 |
|---|---|---|---|
| C++ | 4 ms | 8.4 MB | 执行效率最高，内存占用最小 |
| Python | 28 ms | 13.2 MB | 代码简洁，内存占用适中 |
| C# | 92 ms | 24.8 MB | 类型安全，内存占用较大 |
代码亮点
- 🎯 使用二分查找优化计算
- 💡 空间复杂度优化
- 🔍 处理边界情况
- 🎨 代码结构清晰，易于维护
常见错误分析
- 🚫 未处理整数溢出
- 🚫 二分查找边界错误
- 🚫 矩阵遍历错误
- 🚫 计数逻辑错误
解法对比
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| 二分查找 | O(n * log(max - min)) | O(1) | 高效，空间优化 | 实现较复杂 |
| 归并排序 | O(k * log n) | O(n) | 直观，易于理解 | 空间复杂度高 |
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