LeetCode 第300题：最长递增子序列

📖 文章摘要

本文详细解析LeetCode第300题“最长递增子序列”，这是一道考察动态规划和二分查找的中等难度题目。文章提供了动态规划和贪心+二分查找两种实现方案，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合学习动态规划和二分查找的读者。

核心知识点： 动态规划、二分查找、贪心算法
难度等级： 中等
推荐人群： 具备基础算法知识，想要提升动态规划和二分查找能力的开发者

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

解题思路

本题可以使用两种方法来实现：

1. 动态规划法：

   • 定义dp[i]为以nums[i]结尾的最长递增子序列长度
   • 对每个位置i，遍历前面的所有位置j
   • 如果nums[i] > nums[j]，则可以接在j后面
   • 时间复杂度O(n²)

2. 贪心+二分查找法：

   • 维护一个递增子序列tails
   • tails[i]表示长度为i+1的递增子序列的最小结尾值
   • 对每个数字二分查找插入位置
   • 时间复杂度O(nlogn)

图解思路

动态规划分析表

位置	当前数字	dp值	更新过程
0	10	1	初始化为1
1	9	1	小于前值，独立为1
2	2	1	最小值，独立为1
3	5	2	可接在2后面
4	3	2	可接在2后面
5	7	3	可接在3或5后面
6	101	4	可接在7后面
7	18	4	可接在7后面

二分查找步骤表

步骤	操作	目的
1	初始化tails数组	存储各长度子序列的最小结尾
2	二分查找位置	找到当前数字的插入位置
3	更新tails	维护最优解
4	返回长度	获取最终结果

代码实现

C# 实现

public class Solution {
    // 动态规划解法
    public int LengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.Length == 0) return 0;
        
        int[] dp = new int[nums.Length];
        int maxLen = 1;
        
        // 初始化dp数组
        Array.Fill(dp, 1);
        
        // 动态规划过程
        for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.Max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxLen = Math.Max(maxLen, dp[i]);
        }
        
        return maxLen;
    }
    
    // 贪心+二分查找解法
    public int LengthOfLIS2(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.Length == 0) return 0;
        
        int[] tails = new int[nums.Length];
        int size = 0;
        
        foreach (int num in nums) {
            int left = 0, right = size;
            while (left < right) {
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if (tails[mid] < num) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid;
                }
            }
            tails[left] = num;
            if (left == size) size++;
        }
        
        return size;
    }
}

Python 实现

class Solution:
    # 动态规划解法
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        
        dp = [1] * len(nums)
        
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        
        return max(dp)
    
    # 贪心+二分查找解法
    def lengthOfLIS2(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        
        tails = []
        
        for num in nums:
            if not tails or num > tails[-1]:
                tails.append(num)
            else:
                left, right = 0, len(tails)
                while left < right:
                    mid = (left + right) // 2
                    if tails[mid] < num:
                        left = mid + 1
                    else:
                        right = mid
                tails[left] = num
        
        return len(tails)

C++ 实现

class Solution {
public:
    // 动态规划解法
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty()) return 0;
        
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int maxLen = 1;
        
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxLen = max(maxLen, dp[i]);
        }
        
        return maxLen;
    }
    
    // 贪心+二分查找解法
    int lengthOfLIS2(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty()) return 0;
        
        vector<int> tails;
        
        for (int num : nums) {
            if (tails.empty() || num > tails.back()) {
                tails.push_back(num);
            } else {
                auto it = lower_bound(tails.begin(), tails.end(), num);
                *it = num;
            }
        }
        
        return tails.size();
    }
};

执行结果

C# 实现

• 执行用时：92 ms (动态规划)
• 执行用时：88 ms (二分查找)
• 内存消耗：36.2 MB

Python 实现

• 执行用时：3644 ms (动态规划)
• 执行用时：76 ms (二分查找)
• 内存消耗：15.2 MB

C++ 实现

• 执行用时：276 ms (动态规划)
• 执行用时：8 ms (二分查找)
• 内存消耗：10.4 MB

性能对比

语言	方法	执行用时	内存消耗	特点
C#	动态规划	92 ms	36.2 MB	实现简单，性能一般
C#	二分查找	88 ms	36.2 MB	性能较好
Python	动态规划	3644 ms	15.2 MB	性能较差
Python	二分查找	76 ms	15.2 MB	性能提升明显
C++	动态规划	276 ms	10.4 MB	性能中等
C++	二分查找	8 ms	10.4 MB	性能最优

代码亮点

1. 🎯 提供两种实现方案，适应不同场景
2. 💡 使用二分查找优化时间复杂度
3. 🔍 空间复杂度优化
4. 🎨 代码结构清晰易懂

常见错误分析

1. 🚫 忘记处理空数组情况
2. 🚫 动态规划初始化错误
3. 🚫 二分查找边界处理错误
4. 🚫 更新最大长度时机错误

解法对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
动态规划	O(n²)	O(n)	思路直观，易于理解	时间复杂度高
贪心+二分	O(nlogn)	O(n)	时间复杂度优，性能好	实现较复杂

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